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　　‘自动化技术与应用)2003年第函数的一个充分条件．矩阵束的完簖性是切换系统为稳定且存在切换控制函数一个充分条件本文讨论了在一定条件下矩阵束稳定凸组合的存在性和相应阵柬的完备性的等价关系，给出切换系统的分段Lyapunov函数的构造方法．并分析了自治切换系统的稳定性关键词：矩阵束稳定凸组合完备性分段Lyapunov函数稳定性Ab$~口~ufwlentcondition舰coml~enesszmyojFIgpiecmi~uidtq0中图分类号：~IP13文献标识码：A文章编号：1003—7241(2003)01—000103混合动态系统(hybriddmsystm~)是指包含连续变量动态系统(emulousvariablesystem)和离散事件动态系统(discrete~zeJ[ttdmicsystm~)且两者存在相互作用的系统切换系统是一类描述简单而研究较多的混合动态系统模型。它可以用来描述通讯网络中可预知或不可预知的参数突变等现象。由于切换系统是一种特殊的变结构时变系统．它的运动轨迹分析，能控性、能观测性、稳定性分析及其综合问题都有一定的复杂性切换系统的稳定性分析是最为关注的问题．它有着不同于连续时间系统或离散事件系统的特殊性质，切换规则的选择对系统的稳定性有着重要作用，对于一个系统．它稳定的条件是系统矩阵的根皆为负值，但对于由多个子系统组成的切换系统其稳定性不但与每个子系统的稳定性有关，还与切换控制函数有关。即使每个子系统都不稳定．整个系统却是稳定的例子也是常见的若整个系统存在公共Lyap,mov函数，则系统对任意切换控制函数都是稳定的矩阵束的稳定凸组合及其完备性是研究切换系统稳定性的重要工具。L出了这样的例子．每个子系统是不稳定的，但通过适当选择切换函数可以使整个切换系统稳定，反之亦然。文[5]分的了子系统矩阵稳定且存在交换关系时，整个系统的稳定性并给出公共t,yapunov函数。文[4]从线性映射的角度，分析了只有两个子系统的线性切换系统的公共Lyapur,~-函数存在条件对于线性切换系统．公共函数存在性与在一定假设条件下任意切规则系统的稳定性是等价的J。但对特定切换规则而言．公共Lyapta~ov函数的存在性则为系统稳定的保守条件文[5，6】用分段LVapunov函数分析切换系统的稳定性，并用线性矩阵不等式(IMI)方法给出了基于分段aP函数的切换系统的指数基仝项目国家自然抖垒资助面目(6997206)：陕西省自然科学基金资助lSL08)TechniquesAUtom~tion&&oplications维普资讯定性判定条件。本文讨论了矩阵束存在稳定凸组合与分段公共Lyapu~v函数的关系，矩阵束的完备性和切换系统为稳定且存在切换控制函数的关系，分析了两者的等价性．给出切换系统的分段公共函数的构造方法，并分析了切换系统的稳定性线性切换系统数学模型有如下形式{1．2．0，N}是切换控制函数，它是时间的分段右连续常值函数，0是有限元素(N个)的指标集，若输入向量，yE为输出向量本文将分析切换系统的内部稳定性，故只讨论系统(1)对应的自治系统定义1(切换序列)设初始时刻为1．2．，t是切换时刻。显然若的运动轨迹是确定的定义2(分段公共10n，函数)对于系统(自治系统，如果存在正定对称矩阵0，满足于，(Arp自治系统的分段公共Lyapt~ov函数由定义可见分段公共Lyap~ov函数不是全局公共apL删函数。分段公共Lyaptmv函数具体到子系统的抽象能量局部性质和子系统的局部状态演变过程。文[3]指出如果切换系统有连续的沿切换系统诸段藏小的分段分共ya函数，则系统的运动轨迹是稳定的=定义3(矩阵柬的稳定凸组合设有个矩阵A1，，若存在个非常数C1，C2，A满足flczAzA的特征根都小于零，则称矩阵束jA1，I存在稳定凸组合引理如果矩阵束{A1，Az．AAe存在稳定凸组合．则其必有分段公共ap函数ciA1+c~A2Ac^Autorr~tionqA1+c2A2+(ClA1tc2A2十A，满足，(ArP自治系统的分段公共Lyapmov函数。定义4(矩阵束的完备性维对称矩阵M1．M2．A1．2．Aml使rMer0，称矩阵束IM1．I是严格完备的。容易看出如果存在常数tl0，t20，A0，满足tl则矩阵束{Ml，^，AM,n{是完备的，如果则矩阵束iM1．M2，hMznI是严格完备的对于的情况，该条件是充分必要条件；而阵束的完备性定义易得如下结论：引理对于矩阵束1A1．下面讨论自治切换系统的矩阵束的稳定凸组合与相应矩阵束的完备性的关系，并给出关于自治切换系统稳定性的结论主要结论定理如果由《A。．A2}组成的矩阵束存在稳定凸组合，则必存在正定对称矩I为严格完备的证明：由矩阵束的稳定凸组合的概念．令A，故剥所有R／101，，(厨PPA~)xO两式中至少有一式成立，从而f(ATpPA1)．维普资讯．2)}为严完备的下面讨论定理1的逆问题=定理PAx)}为严格完备的，则有存在fl(taO，使下式成立tl(都有(自动化技术+l是切换时刻，则系统(1)的自治切换系统是Lyapur~稳定的．法，即选择满足稳定性条件的子系统从而使整个切换系统稳定=，[tl(Al易见，假设由IA．n2}组成的矩阵束不存在稳定凸组合．则对某／{0f和a[0，1一有ox~[A(1一口)PA(11)于是(9)式与(11)式矛盾故由IA1，A2}组成的矩阵束存在稳定凸组合。由定理1和定理2可得如下的结论。结论}组成的矩阵束存在稳定凸组合；存在正定对称矩阵为严格完备的，两者是等价的．下面讨论由k92个矩阵A一，A2，A组成的矩阵束的稳定凸组合与完备性的关系。定理矩阵束A1，．AA存在稳定凸组合，则存在正定对称矩阵P=pr完备，且有分段公共Lya~aov函数的证明类似于定理1．从略。然而文[6]已经证明了对于的情况，而t1(AlPPA1)t2(AjPPA．)}严格完备的充分条件．因此对于一般情况而言，两者的等价性是难于判断的矩阵束的稳定凸组合与相应的矩阵束的严格完备性提供了切换系统稳定性的判定工具，下面给出结论．定理如果矩阵束IA1，Aa，A}存在稳定凸组合，或者存在正定对称矩阵P=pTl为完备的；且其分段公共L,vapur*~函数矩阵束如果存在稳定凸组合．则有分段公共Lyapun~函数．如果系统对应的矩阵束是完备的，则切换系统存在使切换系统镇定的切换控制函数本文讨论了含有两个子矩阵的矩阵束的稳定凸组合与相应的矩阵束的完备性的等价关系最后给出切换系统的分段Lyapum~函数的构造方法，简单分析了切换系统的稳定性idLihe,~Des咖0fS~itchedSy~ mks Leemmrlotes